包含变量 的线性方程是形如

的方程，其中未知数都是一次，因此线性方程也称一次方程式。此外 与系数 是实数或复数，通常是已知。下标 可以是任意正整数， 个未知数通常称为 元。

  • 例：方程

    都是线性方程，因为它们可以化为

    未知数 的次数都是一次的。
    而方程

    都不是线性方程，因为第一个方程中包含 交叉乘积项，第二个方程 的次数为

几何含义

在笛卡尔坐标系上，一个未知数的线性方程表示的是一个点；两个未知数的线性方程表示的是一条线；三个未知数的线性方程表示的是一个面：

x1x2-33-12

笛卡尔坐标系中的一条线

x1x2x3

笛卡尔坐标系中的一个面

线性方程组

由一个或几个包含相同变量 的线性方程组成的

其中 以及 等等是已知的常数，而 等等则是要求的未知数

例如：

为什么要学习线性方程以及线性方程组呢？首先，线性问题在数学和工程领域中非常常见，因此掌握线性方程和线性方程组的解法对于解决实际问题非常有帮助。其次，线性方程和线性方程组的解法相对简单，容易求解，这使得它们成为数值计算中的重要工具。事实上，许多非线性问题可以通过将其转化为等价的线性问题来简化求解过程。可以参考牛顿法。此外，线性方程和线性方程组的理论和方法也为更复杂的数学和工程问题提供了基础和启发。总的来说，学习线性方程和线性方程组可以帮助我们更好地理解和解决各种实际问题。