基本的思路是把方程组用一个更容易解的等价方程组 (即有相同解集的方程组) 代替。化简线性方程组的三种基本变换：

  1. 把某个方程换成它与另一方程的倍数的和
  2. 交换两个方程的位置
  3. 把某一方程的所有项乘以一个非零常数

例：

保留第一个方程中的 ，把其他方程中的 消去

方程方程新方程

把原来的第三个方程用所得新方程代替

把方程 2 乘以 ，使 的系数变成 。把方程 3 乘以 ，使 的系数变成 。

利用方程 2 中的 项消去方程 3 中的 项

方程方程新方程

计算结果可以写作之前的第三个方程（行）

将方程 3 乘以 以得到 作为 的系数

方程 3 乘以 ，加方程 2

方程方程新方程

方程结果为

方程 3 乘以 ，方程 2 乘以 ，加方程 1

方程方程方程新方程

方程结果为

原方程组的唯一解是 ，检验

(1;0;¡1)

三个平面相交于一点