矩阵中非零行或列指矩阵中至少包含一个非零元素的行或列，非零行的先导元素是排该行中最左边的非零元素。

一个矩阵称为阶梯形（或行阶梯形），若它有以下三个性质：

  1. 每一非零行都在每一零行之上。
  2. 某一行的先导元素所在的列位于前一行先导元素的右边。
  3. 某一先导元素所在列下方元素都是零。

若一个阶梯形矩阵还满足以下性质，则称它为简化阶梯形（或简化行阶梯形）：

  1. 每一非零行的先导元素是 。
  2. 每一先导元素 是该元素所在列的唯一非零元素。

下列矩阵都是阶梯形的。先导元素用 表示，它们可取任意的非零值，在 位置的元素可取任意值，包括零值

下列矩阵是简化阶梯形的，因先导元素都是 ，且在每个先导元素 的上、下各元素都是 。

任何非零矩阵都可以行化简（即用初等行变换）变为阶梯形矩阵，但用不同的方法可化为不同的阶梯形矩阵。然而，一个矩阵只能化为唯一的简化阶梯形矩阵。

定理 （简化阶梯形矩阵的唯一性）

每个矩阵行等价于唯一的简化阶梯形矩阵。

主元位置

矩阵中的主元位置是 中对应于它的阶梯形中先导元素 的位置。主元列是 的含有主元位置的列。

例：

行化简算法

    1. 由最左的非零列开始。这是一个主元列。主元位置在该列顶端。
    1. 在主元列中选取一个非零元素作为主元。若有必要的话，对换两行使这个元素移到主元位置上。
    1. 用倍加行变换将主元下面的元素变成 。
    1. 暂时不管包含主元位置的行以及它上面的各行，对剩下的子矩阵使用上述的三个步骤直到没有非零行需要处理为止。
    1. 由最右边的主元开始，把每个主元上方的各元素变成 。若某个主元不是 ，用倍乘变换将它变成 。

例：

…