前一节讲了解线性方程组的思路是把方程组用一个更容易解的等价方程组(即有相同解集的方程组)代替，并且说明了线性方程的变换对应于增广矩阵的行变换，因此前面所讲的三种基本变换对应于增广矩阵也有下面三种变换：

初等行变换

  1. （倍加变换） 把某一行换成它本身与另一行的倍数的和
  2. （对换变换） 把两行对换
  3. （倍乘变换） 把某一行的所有元素乘以同一个非零数

行变换可作用于任何矩阵，不仅仅是对于线性方程组的增广矩阵。如果其中一个矩阵可以经一系列初等行变换成为另一个矩阵，我们就称这两个矩阵为行等价的。

  • 若两个线性方程组的增广矩阵是行等价的，则它们具有相同的解。

存在与唯一性问题

线性方程组的解集可能不包含任何解、一个解或无穷多个解。

线性方程组的两个基本问题：

  1. 方程组是否相容，即它是否至少有一个解?
  2. 若它有解，它是否只有一个解，即解是否唯一

学习了增广矩阵的知识之后，上面几种情况对应的增广矩阵如下所示：

表示不等于 0 的数， 代表任意数

有唯一解无解无穷多解

无解

有无穷多解