给定 中向量 和标量 ，向量

称为向量 以 为权的线性组合。线性组合中的权（或者称作权重）可为任意实数，包括零。例如，下列向量都是 和 的线性组合：

下图给出向量 和 的某些线性组合

0v12v13v1¡v1¡2v1v22v23v2¡v2¡2v2uw32v1+v2v1¡v2¡2v1+v2

与 的线性组合

  • 例: ，，，确定 能否写成 和 的线性组合，也就是说，确定是否存在权 和 使下面的向量方程有解

  • 解：根据向量加法和标量乘法的定义把向量方程

写成线性方程组

我们用行化简算法将上述线性方程组的增广矩阵化简，以此解方程组：

方程有一个解 ，因此…

生成子集

线性代数的一个主要思想是研究可以表示为某一固定向量集合 的线性组合的所有向量。

  • 定义：若 是 中的向量，则 的所有线性组合所成的集合用记号 表示，称为由 所生成(或张成)的 的子集。也就是说， 是所有形如

的向量的集合，其中 为标量。

注意 包含 的所有倍数，这是因为 。特别地，它一定包含零向量。

与 的几何解释

x1x2x3vSpanfvg

是通过原点的直线

x1x2x3vuu+vSpanfu;vg

是通过原点的平面

线性组合在物理中有着广泛的应用，它通常用于描述各种物理现象和过程。线性组合是指多个物理量按照线性关系组合在一起，这些物理量可以是基本物理量，也可以是它们的衍生量。下面是一些线性组合在物理中的应用示例：

    1. 力的合成与分解：在分析物体受力时，常常会用到力的合成与分解。其中，力的合成可以用线性组合来表示，即几个力的合力可以用其他力的矢量和来表示。同样，力的分解也可以通过线性组合来进行。
    1. 动量守恒定律：动量守恒定律是物理中一个重要的守恒定律，它描述了在一个封闭的系统中，系统内所有物体的动量在没有外部作用的情况下保持不变。动量的变化可以通过速度的线性组合来描述。
    1. 电场强度和磁场强度：在电磁学中，电场强度和磁场强度是两个重要的物理量。
    1. 波的叠加：在波动现象中，波的叠加可以通过线性组合来进行描述。例如，两个简谐振动的叠加可以产生一个新的简谐振动。这个新的简谐振动可以用线性组合来表示。
    1. 光的干涉和衍射：在光学中，光的干涉和衍射现象可以通过线性组合来进行描述。例如，两个相干光波的叠加可以产生干涉条纹，这可以用相位差的线性组合来描述。同样，光的衍射也可以通过光强分布的线性组合来进行描述。

总之，线性组合在物理中有着广泛的应用，它可以用来描述各种物理现象和过程，如力的合成与分解、动量守恒定律、电场强度和磁场强度、波的叠加和光的干涉和衍射等。这些应用不仅在理论研究中有着重要的作用，而且在实验中也得到了广泛的应用。