二分法（英语：Bip method），是一种常用的数值求解方程根近似值的方法，主要用于解一元函数的根（也就是方程的解）。它的原理非常简单，利用若干次迭代逼近根的位置，直至误差满足给定条件。

具体的求解步骤如下：

    1. 先将方程化为 的形式，通常是方程左边减右边（或者方程右边减左边）。确定方程的区间 ，使得 和 异号（即一个正一个负，该步骤最好通过画图得出 的值）。这是因为在连续函数的定义域中，如果 和 异号，根据零值定理，必定存在解。

    1. 将区间 平均分成两半，找到中点 。即 。

    1. 计算函数在 点的值 。

    1. 判断 与 的关系。如果 为 ，则 就是方程的解；如果 与 或 异号，说明解在 之间或 之间，此时将区间 更新为 或 ，然后返回步骤2；否则，解不在[a, b]之间，结束迭代。

    1. 重复步骤 2 至 4，直到达到预设的精度要求（如解的误差小于某个很小的值），或者达到最大迭代次数。

二分法的思想是在包含解的区间内不断缩小区间范围，直到找到一个足够小的含着解的区间，从而得到具有足够精度的解。这种方法的应用不仅限于求解代数方程，还可以用于求解微分方程的数值解。

二分法的优点在于简单直观，易于实现，并且能够在有界区间内找到解。缺点是对于某些特定的函数，可能迭代次数很多，收敛速度较慢。此外，二分法只能找到一个根（如果存在多个根），且对于非线性方程来说，初始区间的选取很关键，不同的初始区间可能得到不同的解，因此最好是先画图确定要找的解的大致范围。

需要注意的是，二分法只适用于单调的函数，对于非单调函数，需要使用其他的数值求解方法（如牛顿法、弦线法等）。

Mathematica

  • 使用二分法数值解方程 的近似根。首先令 ，画出 的图形：
In[]:= 
1
2
f[x_] = x^2 - x;
Plot[f[x], {x, -1, 2}]
Out[]:=

xf(x)-11212f(x)=x2-x

可以看出方程有两个根，大致在 和 附近，我们以 为例在 mathematica 中数值求解：

In[]:= 
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a = 0.1; b = 1.5; error = Abs[a - b];
n = 0;
(*n 为迭代次数，为防止遇到不收敛的情况，将最大迭代次数设为 1000。
计算精度要求 0.0001，可以自行设定为需求精度*)
While[error > 0.0001 && n < 1000,
 c = (a + b)/2;
 If[f[c] == 0, Break[],
  If[f[a] f[c] > 0, a = c, b = c]];
 error = Abs[a - b];
 n++
 ]
c
Out[]:=

判断程序结束还有另一种方法，这种方法看起来更简洁：

In[]:= 
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a = 0.1; b = 1.5; c = (a + b)/2;
n = 0;
(*n 为迭代次数，为防止遇到不收敛的情况，将最大迭代次数设为 1000。
计算精度要求 0.0001，可以自行设定为需求精度*)
While[Abs[f[c]] > 0.0001 && n < 1000,
 If[f[c] == 0, Break[],
  If[f[a] f[c] > 0, a = c, b = c]];
 c = (a + b)/2;
 n++
 ]
 c
Out[]:=

下面图像显示了前两次迭代的解：

xf(x)0.511.50.51f(x)=x2-x

当然该例非常简单，接下来会讲不动点迭代法，然后利用该方法求解泊松方程。