不动点迭代法数值求解方程（续）

从上一节的例子可以看出，不动点迭代法的收敛性和收敛速度与函数的性质和初始值的选择有关。如果函数满足一定的条件（例如，是连续的、单调的、Lipschitz连续的等），并且初始值选择合适，那么不动点迭代法通常会收敛到方程的不动点。然而，如果函数的性质不好或初始值选择不当，迭代过程可能会发散或收敛极慢。

在利用不动点迭代法数值求解方程中，为了使迭代序列收敛，就必须构造合适的迭代函数。本人不想讨论迭代函数的构造方法，包括不动点迭代法的收敛条件以及迭代收敛速度。下面想讲一点不动点迭代的几何意义，不动点迭代可以看作是函数图像在迭代过程中的逐渐接近不动点的过程。通过多次迭代，的图像逐步靠近的线，最终与之相交于不动点。下面将迭代过程绘制成函数图像和y=x线的交点逐渐靠近的动画，以直观展示不动点迭代的几何意义。

1.1:

收敛到

1.2:

可以清楚的看出解是发散的

2.1:

为了看出收敛情况，初始值改为

2.2:

为了看出收敛情况，初始值改为

本博客接下来要讲解不动点迭代法数值求解泊松方程，但是先要介绍一下微分方程离散化的相关知识，敬请期待。