学了线性组合之后就可以建立线性方程组和向量方程以及矩阵方程之间的联系了。

向量方程

先看一个简单的例子：，，，确定 能否写成 和 的线性组合，也就是说，确定是否存在权 和 使下面的向量方程有解

解：根据向量加法和标量乘法的定义把向量方程

写成

左右两边的向量相等当且仅当它们的对应元素相等，即

因此，确定是否存在权 和 使向量方程 (1) 有解就等价于求解线性方程组 (2)，我们可以采用行化简方法求解：

从上面的例子可以看出，向量方程等价于线性方程组，将线性方程组的增广矩阵写成一种简洁的形式，即

在给出结论之前，我想先借此例讨论一下矩阵方程。

矩阵方程

观察上面的增广矩阵 (3)，我们会发现系数矩阵 有了，方程的右边 有了，还缺少未知数，因此定义一个未知数向量：

那么向量方程 (1) 和线性方程组 (2) 可以写为

上式系数矩阵在左，未知数向量在右。当然颠倒次序也行，但是运算法则就要跟着变。因此按照大众统一的规则，将系数矩阵放在左边，未知数向量放在右边，即

我们称这样形式的方程为矩阵方程。

定义：

  • 若 是 矩阵，它的列为 。若 是 中的向量，则 与 的积 (记为 ) 就是 的各列以 中对应元素为权的线性组合

注意 仅当 的列数等于 中的元素个数时才有定义

线性方程组、向量方程和矩阵方程

从上面的例子可以看出，向量方程、矩阵方程和线性方程组等价，因此有下面的定理。

定理：

  • 若 是 矩阵，列为 ，而 ，则矩阵方程
    与向量方程 有相同的解集。它又与增广矩阵 对应的线性方程组有相同的解集。