微分方程离散化

本博客接下来要讲解不动点迭代法数值求解泊松方程，但是要先介绍一下微分方程离散化的相关知识。

对于大多数（常、偏）微分方程，我们无法得到解析解。因此，数值解法成为解决实际问题的重要手段。当我们要数值求解微分方程时，第一步通常是将微分方程进行离散化。离散化的目的是将连续的微分方程转化为离散的差分方程，以便用数值方法求解。微分方程离散化方法有很多，下面我将详细介绍有限差分法。

差分法

我们回顾一下高等数学中导数的定义，在微积分中，用差分的极限定义导数；在数值计算中，导数用差分（平均变化率）作为近似值。

一阶导的一个简单近似如下：

该式称为差分的向前形式。计算一下近似误差，将在点做泰勒展开：

因此，

同样的有向后形式：

误差为：

将差分的向前向后形式做一个平均可以发现：

该式称作差分的中心（或者中点）形式，该形式有着更小的误差，下面证明：

因此

用相同的方法可以构造更高阶的差分形式，下面是二阶导的二阶差分近似：

从上面的二阶差分形式可以看出，的差分形式是由附近的点生成的，现在介绍一种方法来确定他们的系数——待定系数法。该方法可以用来确定更高阶导数的差分形式。

假定：

泰勒展开

其中

则

另的系数相等

因此

相应的误差也可以得到：

其它生成差分形式和微分方程离散化的方法就不过多介绍。下一次我会讲 Mathematica 中微分方程离散化的命令以及各种差分形式。