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线性规划（英语：Linear Programming，简称 LP）特指目标函数和约束条件皆为线性的最优化问题。线性规划在工程、经济、管理等领域广泛应用，例如生产计划、资源分配、运输问题、物流优化、金融风险管理、投资组合优化等问题都可以用线性规划来建模和求解。在微观经济学和商业管理领域中，线性规划亦被大量应用于例如降低生产过程的成本等手段，最终提升产值与营收。对线性规划有早期贡献的列昂尼德·维塔利耶维奇·康托罗维奇和特亚林·科普曼斯于1975年共同获得诺贝尔经济学奖。

上次讲解了如何使用 Mathematica 的 FindRoot[] 函数，数值求解代数方程、（常、偏）微分方程。不管是初值还是边值甚至是刚性问题，都可以使用该方法。本博客的目的不仅仅是介绍 Mathematica 中的函数，而是一步步剖析其中的原理，理解其中的算法。算法不仅可以用 Mathematica 来实现，以后有机会也将更新使用 Python、C++ 来实现我所介绍的所有算法，希望是订阅数超过 10000 之后。

上次在《不动点迭代法数值求解泊松方程》和《不动点迭代法数值求解热传导方程》中讲到不动点迭代法效率特别低，这次讲在 Mathematica 中使用隐式法数值求解微分方程。该方法是一种通用数值算法，非线性方程组、常微分方程组、偏微分方程组、甚至刚性问题，无论是初值问题（initial value problem）还是边值问题（boundary value problem），都可以使用隐式法求解。如此精妙的算法我都舍不得分享😂

上次讲解了在 Mathematica 中用《不动点迭代法数值求解一维泊松方程》，本来不准备讲二维的求解，只在最后附了二维微分离散化的有限差分形式。但是有好友私信说需要，所以特意讲一下不动点迭代法数值求解二维热传导方程。

热传导方程

在数学和物理学中，热传导方程（或称热方程）是一个典型的椭圆形偏微分方程。热方程理论最初由约瑟夫·傅里叶 (Joseph Fourier) 于 1822 年提出，旨在模拟热量如何在给定区域中扩散。

学习了《不动点迭代法数值求解方程》以及《微分方程离散化》之后，所有的知识就已经齐备。我们可以尝试使用不动点迭代法来求解泊松方程了，下面以一维泊松方程为例，最后附以二维泊松方程的离散化。

泊松方程

泊松方程是一个重要的椭圆形偏微分方程，广泛应用于物理和数学领域。泊松方程以法国数学家和物理学家 Siméon Denis Poisson 的名字命名。泊松方程在电势场、引力场、热传导、流体力学等领域中都有广泛的应用。例如，在电势场、引力场中，泊松方程可以用来描述电势、引力势满足的方程。在热传导中，泊松方程可以用来表示温度分布。在流体力学中，泊松方程可以用来描述速度势或压力场。

Mathematica 中微分方程离散化形式非常简单，我们先列出 Mathematica 中的差分形式。网页 数值直线方法，或者 Mathematica 的文档页 tutorial/NDSolveMethodOfLines 中可以找到。

本博客接下来要讲解不动点迭代法数值求解泊松方程，但是要先介绍一下微分方程离散化的相关知识。

对于大多数（常、偏）微分方程，我们无法得到解析解。因此，数值解法成为解决实际问题的重要手段。当我们要数值求解微分方程时，第一步通常是将微分方程进行离散化。离散化的目的是将连续的微分方程转化为离散的差分方程，以便用数值方法求解。微分方程离散化方法有很多，下面我将详细介绍有限差分法。

学了线性组合之后就可以建立线性方程组和向量方程以及矩阵方程之间的联系了。

亲爱的朋友，值此2024年龙年春节之际，我愿以真挚的心意，为您献上一份诚挚的祝福。请随我一同迎接这新春的曙光，让我们共同把握这美好的时刻。

随着人工智能技术的不断发展，GPT（Generative Pre-trained Transformer）作为一种先进的自然语言处理模型，正以其强大的语言理解和生成能力引起热议。GPT是一种基于深度学习的模型，能够理解和生成人类语言，可以广泛应用于各行各业。