上次在《牛顿法数值求解泊松方程》中讲了使用牛顿法(Newton’s method)数值求解多变量方程,并以一维泊松方程为例进行隐式求解。本次讲解使用牛顿法数值求解多维方程。迭代形式为上次所讲:
牛顿法数值求解泊松方程
上次在《牛顿法数值求解方程》中讲了使用牛顿法(Newton’s method)数值求解单变量方程。这次使用牛顿法数值求解多变量方程,并以泊松方程为例进行隐式求解,参考《隐式法数值求解泊松方程》。该方法极其实用,如此精妙的算法我都舍不得分享😂
Mathematica解线性规划
牛顿法数值求解方程
上次讲解了如何使用 Mathematica 的 FindRoot[]
函数,数值求解代数方程、(常、偏)微分方程。不管是初值还是边值甚至是刚性问题,都可以使用该方法。本博客的目的不仅仅是介绍 Mathematica 中的函数,而是一步步剖析其中的原理,理解其中的算法。算法不仅可以用 Mathematica 来实现,以后有机会也将更新使用 Python、C++ 来实现我所介绍的所有算法,希望是订阅数超过 10000 之后。
隐式法数值求解泊松方程
上次在《不动点迭代法数值求解泊松方程》和《不动点迭代法数值求解热传导方程》中讲到不动点迭代法效率特别低,这次讲在 Mathematica 中使用隐式法数值求解微分方程。该方法是一种通用数值算法,非线性方程组、常微分方程组、偏微分方程组、甚至刚性问题,无论是初值问题(initial value problem)还是边值问题(boundary value problem),都可以使用隐式法求解。如此精妙的算法我都舍不得分享😂
不动点迭代法数值求解二维热传导方程
上次讲解了在 Mathematica 中用《不动点迭代法数值求解一维泊松方程》,本来不准备讲二维的求解,只在最后附了二维微分离散化的有限差分形式。但是有好友私信说需要,所以特意讲一下不动点迭代法数值求解二维热传导方程。
热传导方程
在数学和物理学中,热传导方程(或称热方程)是一个典型的椭圆形偏微分方程。热方程理论最初由约瑟夫·傅里叶 (Joseph Fourier) 于 1822 年提出,旨在模拟热量如何在给定区域中扩散。
不动点迭代法数值求解泊松方程
学习了《不动点迭代法数值求解方程》以及《微分方程离散化》之后,所有的知识就已经齐备。我们可以尝试使用不动点迭代法来求解泊松方程了,下面以一维泊松方程为例,最后附以二维泊松方程的离散化。
泊松方程
泊松方程是一个重要的椭圆形偏微分方程,广泛应用于物理和数学领域。泊松方程以法国数学家和物理学家 Siméon Denis Poisson 的名字命名。泊松方程在电势场、引力场、热传导、流体力学等领域中都有广泛的应用。例如,在电势场、引力场中,泊松方程可以用来描述电势、引力势满足的方程。在热传导中,泊松方程可以用来表示温度分布。在流体力学中,泊松方程可以用来描述速度势或压力场。
Mathematica中的微分离散化
微分方程离散化
从线性方程组到向量方程和矩阵方程
学了线性组合之后就可以建立线性方程组和向量方程以及矩阵方程之间的联系了。