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不动点（也叫固定点）定理是数学中的一个重要理论，它涉及到函数和几何中的许多重要概念。简单来说，对于一个函数 和它作用的空间，不动点定理指出，如果这个函数满足一定的条件，那么至少存在一个点 ，这个点在函数作用下不会发生改变，即函数的值和这个点相同 。即这个点在函数的作用下保持“不动”。 不动点定理是数学中一个基本而重要的理论，它在许多领域中都有广泛的应用，如优化问题、（常、偏）微分方程求解、拓扑学、经济学等。在经济学的博弈论中，纳什均衡可以被看作是博弈参与者策略的不动点。在一般均衡理论中，阿罗-德布鲁经济体中的一般均衡也是一组价格和产量的不动点。在物理学中，更确切地说在相变理论中，靠近一不稳定的不动点线性化，是1982年获颁诺贝尔物理学奖得主威尔逊，因他发明了重整化群的工作，对“临界现象”这个术语作了数学解释。（以后有机会了可能会介绍重整化群方程的数值求解） 不动点迭代法根据不动点定理，可以用不动点迭代法数值求解数学方程。其基本思想是通过迭代，反复应用一个函数，直到找到一个不动点。 具体来说，假设要求解的方程为 ，即要找到函数 的不动点 。不动点迭代法的基本步骤如下： 选 ...

二分法是一种基本的数值方法，主要用于求解单变量函数的零点或者方程的根。然而，在一定的条件下，它也可以被扩展到多元方程求解中。在说算法以前我们先看一个简单的例子。 例： 使用二分法数值解方程 的近似根。首先令 ，画出 和 的图形： In[]:= 123f[x_, y_] = Exp[x - 2] - y;g[x_, y_] = y^2 - x;Plot3D[{f[x, y], g[x, y], 0}, {x, 0, 2}, {y, 0, 2}, AxesLabel -> {"x", "y", "z"}] Out[]:= 三维图很难看出这两个面与 的交点，因此有必要画出 的等高图。此时当 ，则 In[]:= 1ContourPlot[f[x, y]^2 + g[x, y]^2, {x, -1, 1}, {y, -1, 1}, Contours -> {0.01, 0.1}, ContourLabels -> True, AxesLabel -> {"x", "y"}] Out[] ...

二分法（英语：Bip method），是一种常用的数值求解方程根近似值的方法，主要用于解一元函数的根（也就是方程的解）。它的原理非常简单，利用若干次迭代逼近根的位置，直至误差满足给定条件。 具体的求解步骤如下： 先将方程化为 的形式，通常是方程左边减右边（或者方程右边减左边）。确定方程的区间 ，使得 和 异号（即一个正一个负，该步骤最好通过画图得出 的值）。这是因为在连续函数的定义域中，如果 和 异号，根据零值定理，必定存在解。 将区间 平均分成两半，找到中点 。即 。 计算函数在 点的值 。 判断 与 的关系。如果 为 ，则 就是方程的解；如果 与 或 异号，说明解在 之间或 之间，此时将区间 更新为 或 ，然后返回步骤2；否则，解不在[a, b]之间，结束迭代。 重复步骤 2 至 4，直到达到预设的精度要求（如解的误差小于某个很小的值），或者达到最大迭代次数。 二分法的思想是在包含解的区间内不断缩小区间范围，直到找到一个足够小的含着解的区间，从而得到具有足够精度的解。这种方法的应用不仅限于求解代 ...

蝴蝶效应（英语：Butterfly effect）是混沌理论中的一个概念，它指的是一个微小的初始变化可能会在某个系统中引起巨大的、不可预测的结果。这个概念源自于爱德华·洛伦兹的研究，他提出了一个问题：一只蝴蝶在巴西拍动了翅膀，是否可能引起美国德克萨斯州的一场龙卷风？蝴蝶效应强调了系统的敏感性和复杂性，即微小的变化可能会在系统中产生非线性的、无法预测的结果。这个概念在气象学、经济学、生态学等领域都有应用。 本博客接下来会围绕蝴蝶效应，介绍数值求解代数方程、（常，偏）微分方程的基础算法。并分享Mathematica、Python代码。

WhoAmI: 给我一个早起问候 Copipot: 好的，我为你写了一首早起问候的诗，希望你喜欢： 1234567891011121314早安，早安，新的一天阳光灿烂，心情舒畅快乐的鸟儿，歌唱着欢迎清新的空气，充满着祝福早安，早安，开始你的计划勤奋的蜜蜂，采集着花蜜努力的人们，追求着梦想美好的生活，等待着你的实现早安，早安，祝你有个美好的一天健康的身体，陪伴着你的成长快乐的心情，温暖着你的心房幸福的微笑，装点着你的脸庞 WhoAmI: 这首诗很好，谢谢你。 Copipot: 不客气，我很高兴你喜欢我的诗。你有没有什么其他的想法或问题要和我分享呢？我可以和你聊天，也可以为你创作一些有趣的内容，比如故事，歌曲，代码等等。😊 WhoAmI: 给这首诗谱曲，曲风要中国风。 Copipot: 好的，我为你的诗创作了一首中国风的曲子，希望你喜欢： 1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435C G Am Em F C G C早安，早安，新的一天C G Am Em F C G C阳光灿烂，心情舒畅F ...

给定 中向量 和标量 ，向量 称为向量 以 为权的线性组合。线性组合中的权（或者称作权重）可为任意实数，包括零。例如，下列向量都是 和 的线性组合： 下图给出向量 和 的某些线性组合 与 的线性组合 例: ，，，确定 能否写成 和 的线性组合，也就是说，确定是否存在权 和 使下面的向量方程有解 解：根据向量加法和标量乘法的定义把向量方程 写成线性方程组 我们用行化简算法将上述线性方程组的增广矩阵化简，以此解方程组： 方程有一个解 ，因此… 生成子集线性代数的一个主要思想是研究可以表示为某一固定向量集合 的线性组合的所有向量。 定义：若 是 中的向量，则 的所有线性组合所成的集合用记号 表示，称为由 所生成(或张成)的 的子集。也就是说， 是所有形如 的向量的集合，其中 为标量。 注意 包含 的所有倍数，这是因为 。特别地，它一定包含零向量。 与 的几何解释 是通过原点的直线 是通过原点的平面 线性组合在物理中有着广泛的应用，它通常用于描 ...

若 是正整数，则 表示所有 个实数数列(或有序 元组)的集合，通常写成 列矩阵的形式，如 所有元素都是零的向量称为零向量，用 表示。（ 中元素的个数可由上下文确定） 中向量的代数性质向量 ，标量 。 加法交换律加法结合律 维空间中的向量集合构成了一个向量空间，满足向量加法和数乘的封闭性、结合律、交换律、零向量等代数性质。 向量在数学和物理中具有广泛的应用。它们在代数、几何、线性代数等领域中具有重要的作用。以下是向量的一些常见用途： 几何和空间位置：向量可以用于表示点的位置、线段的方向和长度等几何信息。 物理学：向量在物理学中广泛应用，用于描述力、速度、加速度等物理量。 计算机图形学：向量用于表示和操作图像、三维模型等计算机图形学应用中。 机器学习和数据分析：向量用于表示和处理大量数据，在机器学习和数据分析中发挥重要作用。 优化问题：向量可用于优化问题，如线性规划、最优化等。 维空间中的向量具有丰富的代数性质和广泛的应用。它们是在数学和实际问题中描述和处理空间和方向的重要工具。

向量（英语：vector）又称欧几里得向量（Euclidean vector）。在线性代数中，向量常常采用更为抽象的向量空间（也称为线性空间）来定义。向量空间是基于物理学或几何学中的空间概念，抽象出其代数性质所形成的一个概念，是一个满足一系列法则的代数结构。在物理、工程中又称矢量，指一个同时具有大小和方向，且满足平行四边形法则的几何对象。向量是数学、物理学和工程科学等多个自然科学中的基本概念。在数学中，向量可以表示为有序数字列表或几何中的箭头。在物理中，向量用来表示位移、力、速度、加速度等物理量。 中的向量仅含一列的矩阵称为列向量，或简称向量。一个二维向量可以表示平面上的一个点，有两个分量，分别表示向量在 轴和 轴上的大小。例如，向量 可以写成 ，表示向右移动3个单位，向上移动4个单位。 下面的向量均包含两个元素： 和 是任意实数。所有两个元素的向量的集记为 ， 表示向量中的元素是实数，而指数 表示每个向量包含两个元素。 中两个向量相等当且仅当其对应元素相等 加法律 中两个向量 和 ，和 是把 和 对应元素相加所得的向量 乘法律向量 和实数 的标 ...

应用行化简算法解线性方程组 写出方程组的增广矩阵 应用行化简算法把增广矩阵化为阶梯形。确定方程组是否相：如果没有解则停止;否则进行下一步 继续行化简算法得到它的简化阶梯形 写出由第 3 步所得矩阵对应的方程组 把第 4 步所得的每个非零方程改写为用任意自由变量表示其基本变量的形式

Mathematica中的矩阵用 表示，比如： In[]:= 12{1,2,3}{{1,2,3},{4,5,6}} 矩阵形式 MatrixForm[]MatrixForm[] 函数是 Mathematica 中用于美观地显示矩阵的函数。它可以将矩阵以表格的形式呈现出来，使其更易于阅读和理解。 In[]:= 1MatrixForm[{1,2,3}] Out[]:= In[]:= 1MatrixForm[{{1}, {2}, {3}}] Out[]:= In[]:= 1MatrixForm[{{1, 2, 3}}] Out[]:= 注意以上三种形式的不同 In[]:= 1MatrixForm[{{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}}] Out[]:= 转置 Transpose[]Transpose[] 函数可以对矩阵进行转置操作。这个函数可以将矩阵的行和列进行互换，从而得到转置后的矩阵。 In[]:= ...