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对应于主元列的变量 和 称为基本变量。其他变量（如 ）称为自由变量 是自由变量 上式给出的解称为方程组的通解，它给出了所有解的显式表示。 例： 解集的上述表示式称为解集的参数表示，其中自由变量作为参数。解方程组就是要求出解集的这种参数表示或确定它无解。 线性方程组的解 回代法 高斯消元法 共轭梯度法 Conjugate Gradient Method（以后发此法） … 存在与唯一性定理线性方程组相容的充要条件是增广矩阵的最右列不是主元列。也就是说，增广矩阵的阶梯形没有形如 的行。若线性方程组相容，则它的解集可能有两种情形: 当没有自由变量时，有唯一解 若至少有一个自由变量，则有无穷多解

矩阵中非零行或列指矩阵中至少包含一个非零元素的行或列，非零行的先导元素是排该行中最左边的非零元素。 一个矩阵称为阶梯形（或行阶梯形），若它有以下三个性质： 每一非零行都在每一零行之上。 某一行的先导元素所在的列位于前一行先导元素的右边。 某一先导元素所在列下方元素都是零。 若一个阶梯形矩阵还满足以下性质，则称它为简化阶梯形（或简化行阶梯形）： 每一非零行的先导元素是 。 每一先导元素 是该元素所在列的唯一非零元素。 下列矩阵都是阶梯形的。先导元素用 表示，它们可取任意的非零值，在 位置的元素可取任意值，包括零值 下列矩阵是简化阶梯形的，因先导元素都是 ，且在每个先导元素 的上、下各元素都是 。 任何非零矩阵都可以行化简（即用初等行变换）变为阶梯形矩阵，但用不同的方法可化为不同的阶梯形矩阵。然而，一个矩阵只能化为唯一的简化阶梯形矩阵。 定理 （简化阶梯形矩阵的唯一性） 每个矩阵行等价于唯一的简化阶梯形矩阵。 主元位置 矩阵中的主元位置是 中对应于它的阶梯形中先导元素 的位置。主元列是 的含有主元位置的列。 例： 行化简算法 由最左的非 ...

前一节讲了解线性方程组的思路是把方程组用一个更容易解的等价方程组(即有相同解集的方程组)代替，并且说明了线性方程的变换对应于增广矩阵的行变换，因此前面所讲的三种基本变换对应于增广矩阵也有下面三种变换： 初等行变换 （倍加变换） 把某一行换成它本身与另一行的倍数的和 （对换变换） 把两行对换 （倍乘变换） 把某一行的所有元素乘以同一个非零数 行变换可作用于任何矩阵，不仅仅是对于线性方程组的增广矩阵。如果其中一个矩阵可以经一系列初等行变换成为另一个矩阵，我们就称这两个矩阵为行等价的。 若两个线性方程组的增广矩阵是行等价的，则它们具有相同的解。 存在与唯一性问题线性方程组的解集可能不包含任何解、一个解或无穷多个解。 线性方程组的两个基本问题： 方程组是否相容，即它是否至少有一个解? 若它有解，它是否只有一个解，即解是否唯一 学习了增广矩阵的知识之后，上面几种情况对应的增广矩阵如下所示： 表示不等于 0 的数， 代表任意数 有唯一解无解无穷多解 无解 有无穷多解

基本的思路是把方程组用一个更容易解的等价方程组 (即有相同解集的方程组) 代替。化简线性方程组的三种基本变换： 把某个方程换成它与另一方程的倍数的和 交换两个方程的位置 把某一方程的所有项乘以一个非零常数 例： 保留第一个方程中的 ，把其他方程中的 消去 方程方程新方程 把原来的第三个方程用所得新方程代替 把方程 2 乘以 ，使 的系数变成 。把方程 3 乘以 ，使 的系数变成 。 利用方程 2 中的 项消去方程 3 中的 项 方程方程新方程 计算结果可以写作之前的第三个方程（行） 将方程 3 乘以 以得到 作为 的系数 方程 3 乘以 ，加方程 2 方程方程新方程 方程结果为 方程 3 乘以 ，方程 2 乘以 ，加方程 1 方程方程方程新方程 方程结果为 原方程组的唯一解是 ，检验 三个平面相交于一点

把每一个变量的系数写在对齐的一列中，矩阵 称为方程组的系数矩阵，而 称为它的增广矩阵。方程组的增广矩阵是把它的系数矩阵添上增广列所得，这一列是由方程组等号右边的常数组成的。通过将系数矩阵和增广矩阵结合起来，我们可以使用矩阵运算的方法来解决线性方程组，例如高斯消元法或矩阵的逆运算。 矩阵的大小（或者叫维数。严格来讲矩阵不讲维数，维数是线性空间的性质。在数学中，矩阵的维数说法不一，并没有定义矩阵的维数，线性空间才有维数。但是口头语当中经常这样用）说明它包含的行数和列数。上面的增广矩阵有 3 行 4 列，称为 （读作 3 行 4 列）矩阵。若 是正整数， 矩阵是一个有 行 列的数的矩形阵列。（行数写在前面）矩阵记号为解方程组带来方便。 （在线性代数中，矩阵有秩（rank）的概念，秩的定义和维数有关，因此很容易搞混，但是口头所说的矩阵的维数和秩是不同的） 对于含有 个未知数 的 个线性方程的方程组：其增广矩阵为： 最右列增广列用 分割开，该矩阵有 行 列，因此它是 矩阵。

其中 以及 等等是已知的常数，而 等等则是要求的未知数。如果有一组数 ，用这组数分别代替 时使得方程组的等号两边相等，那么这组数就叫做方程组的解。一个线性方程组的所有的解的集合会被简称为解集。 例如，方程组 有一组解 ，当 时，方程组左右两边相等 几何解释当未知数只有两个（ 和 ）的时候，方程组里面的每一个方程可以看成笛卡尔坐标系上的一条直线的方程。直线上的点的坐标就是满足这个方程的一组数。从这个角度看来，方程组的解就是所有这种直线的公共点。求包含两个变量的两个线性方程组成的方程组的解，就等价于求两条直线的交点，例如 有唯一解 当然，两条直线不一定交于一个点，它们可能平行，意味着该线性方程组的解不存在，因此解集是空集；也可能重合，意味着该线性方程组的解有无穷个，重合的两条直线上的每个点都是交点 无解 无穷多解 如果未知数有三个，那么每一个方程则代表了三维空间里面的一个平面，而方程组的解集也就是一些平面的共同部分。所有解的集合可以对应一个平面，一条直线，一个点或空集。对于更多未知数的线 ...

包含变量 的线性方程是形如的方程，其中未知数都是一次，因此线性方程也称一次方程式。此外 与系数 是实数或复数，通常是已知。下标 可以是任意正整数， 个未知数通常称为 元。 例：方程都是线性方程，因为它们可以化为未知数 的次数都是一次的。而方程都不是线性方程，因为第一个方程中包含 交叉乘积项，第二个方程 的次数为 几何含义在笛卡尔坐标系上，一个未知数的线性方程表示的是一个点；两个未知数的线性方程表示的是一条线；三个未知数的线性方程表示的是一个面： 笛卡尔坐标系中的一条线 笛卡尔坐标系中的一个面 线性方程组由一个或几个包含相同变量 的线性方程组成的其中 以及 等等是已知的常数，而 等等则是要求的未知数 例如： 为什么要学习线性方程以及线性方程组呢？首先，线性问题在数学和工程领域中非常常见，因此掌握线性方程和线性方程组的解法对于解决实际问题非常有帮助。其次，线性方程和线性方程组的解法相对简单，容易求解，这使得它们成为数值计算中的重要工具。事实上，许多非线性问题可以通过将其转化为等价的线性问题来简化 ...

古代算术：《九章算术》、《孙子算经》、《缉古算经》 《孙子算经》：鸡兔同笼问题 问：今有雉、兔同笼，上有三十五头，下九十四足。问雉、兔各几何？ 答：上置三十五头，下置九十四足。半其足，得四十七。以少减多。 兔鸡 列方程： 《九章算术》 方程：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？ 答曰：上禾一秉，九斗、四分斗之一，中禾一秉，四斗、四分斗之一，下禾一秉，二斗、四分斗之三。 術曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗，於右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不盡者遍乘左行而以直除。左方下禾不盡者，上為法，下為實。實即下禾之實。求中禾，以法乘中行下實，而除下禾之實。餘如中禾秉數而一，即中禾之實。求上禾亦以法乘右行下實，而除下禾、中禾之實。餘如上禾秉數而一，即上禾之實。實皆如法，各得一斗。 列方程： …

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